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ユークリッドの互除法を使って約分できるか知る方法【数検1級&大学入試対策】

ペンちゃん
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ユークリッドの互除法を使って約分できるか知る方法について確認しよう!

数検1級対策

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今回は分母、分子が大きい分数が約分可能かについて考えてみよう。

ユークリッドの互除法

$$\frac{a}{b}$$が約分可能か考えよう。

1.aをbで割り、余りをrとする。
もしr=0であれば約分可能である。

2.r > 0のとき、aにbの値を、bにrを入れて1を再度行う。

r=0になったとき、bの値が、元の数a,bの最大公約数になる。

これがユークリッドの互除法です。
もし最大公約数が1のとき、既約分数となるので、元の分数は約分できなかったということになります。

$$\frac{1029}{1071}$$は約分可能か?
ユークリッドの互除法でa=1029,b=1071とする。
1071÷1029=1 余り 42
1029÷42=24 余り 21
42÷21=2 余り 0
なので最大公約数は21である。
よって$$\frac{1029}{1071}=\frac{21・49}{21・51}=\frac{49}{51}$$となる。

別解

次のようにしても求められます。
$$\frac{a}{b}$$
が約分可能と
$$1-\frac{a}{b}$$
が約分可能は同値なので
$$1-\frac{1029}{1071}=\frac{42}{1071}$$
$$=\frac{2・21}{1071}=\frac{2・21}{21・51}=\frac{2}{51}$$
なので
$$\frac{1029}{1071}=1-\frac{2}{51}=\frac{49}{51}$$

過去問で攻略

問題

数検1級1次 第184回 問1

次の分数は約分できますか。できるならば、約分してもっとも簡単な分数で表し、できないならば「約分できない」と答えなさい
$$\frac{10033}{12877}$$

解答

ユークリッドの互除法でa=10033,b=12877する。
12877÷10033=1 余り 2844
10033÷2844=3 余り 1501
2844÷1501=1 余り 1343
1501÷1343=1 余り 158
1343÷158=8 余り 79
158÷79=2 余り 0
なので最大公約数は79である。
よって$$\frac{10033}{12877}=\frac{79・127}{79・163}=\frac{127}{163}$$となる。

答え $$\frac{127}{163}$$

解答2

$$1-\frac{10033}{12877}=\frac{2844}{12877}$$
$$=\frac{2^{2}・3^{2}・79}{12877}=\frac{2^{2}・3^{2}・79}{79・163}=\frac{36}{163}$$
なので
$$\frac{10033}{11877}=1-\frac{36}{163}=\frac{127}{163}$$

まとめ

ユークリッドの互除法で最大公約数や、約分可能かわかります。
ぜひ覚えておきましょう。

ユークリッドの互除法

$$\frac{a}{b}$$が約分可能か考えよう。

1.aをbで割り、余りをrとする。
もしr=0であれば約分可能である。

2.r > 0のとき、aにbの値を、bにrを入れて1を再度行う。

r=0になったとき、bの値が、元の数a,bの最大公約数になる。

ペンちゃん
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ユークリッドの互除法を使って約分できるか知る方法についてお勉強したよ!