eπとe+πのうち少なくともどちらか一方は無理数？

eπとe+πは有理数であるとも無理数であるとも証明されていません。しかし少なくともどちらか一方は無理数であることが証明できます。
今回はこの問題の証明方法を学習しましょう。

eπとe+πのうち少なくともどちらか一方は無理数？

まず今回解いていく問題は以下になります。

eπとe+πのうち少なくともどちらか一方は無理数であることを示せ。

無理数については下記記事をご覧ください。

実際に以下の数は無理数であるか有理数であるか証明されていません。

• eπ
• e+π

そして今回、超越数という知識を使用します。

超越数（transcendental number）とは、任意の有理係数の代数方程式の解にならない複素数のことです。
すなわち任意の正の整数nと有理数a_iに対して
$$x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+・・・+a_{0}=0$$
の解にならない複素数を超越数といいます。

そして次のことが知られています。

e は超越数である。

証明方法

実際に証明を行います。

eπとe+πのうち少なくともどちらか一方は無理数であることを示せ。

e+πとeπのどちらも有理数だと仮定する。
a=e+π, b=eπ と置く。
2次方程式の解と係数の関係により、e と π は
x²-ax+b = 0 の解になる。しかしこれはe が超越数であることに矛盾する。
したがって eπ と e+π の少なくともどちらか一方は無理数である。

まとめ

eπとe+πは有理数であるとも無理数であるとも証明されていません。しかし少なくともどちらか一方は無理数であることが証明できました。