数学

無理数とは?無理数であることの証明方法

無理数とは

無理数の定義

無理数とは有理数でない実数のことです。つまり以下のように定義できます。

任意の整数a,bに対して
$$m=\frac{a}{b}$$
と表すことのできないとき、mは無理数であるという。

すなわち分数の形で表すことができないのが無理数です。

無理数の例

以下はすべて無理数になります。

  • $$\sqrt{2}$$
  • $$\log_2 {3}$$
  • $$\pi$$
  • $$\mathrm{e}$$

未解決な例

以下は無理数であるか有理数であるか証明されていないものの例になります。

  • $$\pi+\mathrm{e}$$
  • $$\pi\mathrm{e}$$

無理数であることの証明

それでは実際に無理数であることを証明してみましょう

問題

$$\sqrt{2}が無理数であることを証明せよ$$

背理法で証明する。
$$\sqrt{2}が有理数であると仮定する。$$
すなわち、ある整数a,bが存在して
$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$
と書ける。両辺2乗して整理すると、
$$2b^{2}=a^{2}$$
ここで、左辺は2で奇数回、右辺は2で偶数回割り切れる。
したがってそのような整数a,bは存在しない。
$$よって、\sqrt{2}は無理数である。$$

まとめ

無理数の定義と無理数であることを証明するときの方法を覚えておきましょう。

無理数とは

任意の整数a,bに対して
$$m=\frac{a}{b}$$
と表すことのできないとき、mは無理数であるという