【数学】無限降下法と大学入試問題を用いた使用例

$$\sqrt{2}が有理数であると仮定する。$$
このとき、互いに素な自然数m,nが存在して
$$\sqrt{2}=\frac{n}{m}$$
と書ける。両辺2乗して整理すると、
$$2m^{2}=n^{2}$$
ここで、左辺は偶数であるから
$$n^{2}は偶数、すなわちnは偶数となる。$$
$$したがって自然数n_1が存在してn=2n_1と書ける$$
これを代入すると
$$2m^{2}=4n_1^{2}よりm^{2}=2n_1^{2}$$
$$よって、m^{2}は偶数、すなわちmは偶数となる。$$
このとき、m,nはともに偶数となり、m,nが互いに素であることに矛盾する
$$よって、\sqrt{2}は無理数である。$$

$$\sqrt{2}が有理数であると仮定する。$$
このとき、ある自然数m,nが存在して（互いに素を仮定しないのがポイント）
$$\sqrt{2}=\frac{n}{m}$$
と書ける。両辺2乗して整理すると、
$$2m^{2}=n^{2}$$
ここで、左辺は偶数であるから
$$n^{2}は偶数、すなわちnは偶数となる。$$
$$したがって自然数n_1が存在してn=2n_1と書ける$$
これを代入すると
$$2m^{2}=4n_1^{2}よりm^{2}=2n_1^{2}$$
$$よって、m^{2}は偶数、すなわちmは偶数となる。$$
$$したがって自然数m_1が存在してm=2m_1と書ける$$
$$つまり、\sqrt{2}=\frac{n}{m}=\frac{2n_1}{2m_1}=\frac{n_1}{m_1}$$
と書ける。この操作を繰り返すと、
$$n_1,m_1は無限に小さくすることできる。$$
$$しかし、n_1,m_1は自然数であることに矛盾する。$$
$$よって、\sqrt{2}は無理数である。$$

(1)任意の自然数ａに対し、
ａ≡0　(mod 3), ａ≡1　(mod 3), ａ≡2　(mod 3)
のいづれかが成り立つ。このとき、
ａ≡0⇒ａ²≡0　(mod 3)
ａ≡1⇒ａ²≡1　(mod 3)
ａ≡2⇒ａ²≡1　(mod 3)
したがって、ａ²を3で割った余りは0か1である。

(2)自然数a, b, cがａ²＋ｂ²＝3ｃ²を満たすと仮定すると、右辺は3の倍数より、左辺も３の倍数である。
したがって、(1)より、ａ²≡0　(mod 3),b²≡0　(mod 3)となる。
よって、ａ≡0　(mod 3), b≡0　(mod 3)となる。
このとき、c²≡0　(mod 3)より、c≡0　(mod 3)である。
以上より、ａ≡0　(mod 3), b≡0　(mod 3), c≡0　(mod 3)
よって、a, b, cはすべて3で割り切れなければならない。

(3)a²＋b²＝3c²を満たす自然数a, b, cが存在すると仮定すると、(2)より、a＝3a’, b＝3b’, c＝3c’　（a’, b’, c’は自然数）
とおける。
このとき、9a’²＋9b’²＝27c’²より、a’²＋b’²＝3c’²
このような操作を繰り返すと、自然数 a’, b’, c’ は無限に小さくすることができる。
しかし、a’, b’, c’ は自然数であることに矛盾する。
よって、a²＋b²＝3c²を満たす自然数a, b, cは存在しない。