数学

交代式とは?交代式の因数分解の方法

交代式とは?

交代式(交代多項式、alternating polynomial)とはどの2つの変数を入れ替えても元の-1倍となる多項式のことです。

対称式との違い

対称式とは,どの2つの変数を入れ替えても元と変わらない多項式のことです。つまり、交代式は-1倍、対称式はそのままとなるものです。

詳しくはこの記事をご覧ください。

対称式とは?基本対称式の使い方対称式とは? 2変数対称式 2変数の多項式f(x,y)に対して f(x,y)=f(y,x) が成り立つとき対称式という。 ...

2変数交代式

2変数の多項式f(x,y)に対して
f(x,y)=-f(y,x)
が成り立つとき交代式という。

つまり、2変数の場合、xとyを入れ替えても、もとの多項式の-1倍となる多項式を交代式といいます。

2変数交代式の例

2変数交代式の例としては以下のものがあります。

  • $$x-y$$
  • $$x^{2}-y^{2}$$
  • $$3x^{4}-3y^{4}$$

それぞれxとyを入れ替えても、もとの多項式の-1倍となるので交代式です。

2変数の交代式の因数

2変数交代式f(x,y)は x-y を因数に持ちます。

実際に因数分解をすると x-y を因数に持つことがわかります。

$$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$$

3変数交代式

3変数の多項式f(x,y,z)に対して
f(x,y,z)=-f(x,z,y)=-f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=-f(z,y,x)
が成り立つとき交代式という。

つまり、3変数の場合、xとyとzのどの2つを入れ替えても、もとの多項式の-1倍となる多項式を交代式といいます。

3変数交代式の例

3変数交代式の例としては以下のものがあります。

  • $$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-z)$$

xとyとzのどの2つを入れ替えても、もとの多項式の-1倍となるので対称式です。

3変数の交代式の因数

3変数交代式f(x,y,z)は (x-y)(y-z)(z-x) を因数に持ちます。

実際に因数分解をすると (x-y)(y-z)(z-x) を因数に持つことがわかります。

$$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-z)$$
$$=-(x-y)(y-z)(z-x) $$

まとめ

交代式について以下のことを覚えておきましょう。

交代式と因数
  • どの2つの変数を入れ替えても元の-1倍となる多項式を交代式という
  • 2変数交代式f(x,y)は x-y を因数に持つ
  • 3変数交代式f(x,y,z)は (x-y)(y-z)(z-x) を因数に持つ