数学

対称式とは?基本対称式の使い方

対称式とは?

2変数対称式

2変数の多項式f(x,y)に対して
f(x,y)=f(y,x)
が成り立つとき対称式という。

つまり、2変数の場合、xとyを入れ替えても、もとの多項式と等しい多項式を対称式といいます。

2変数対称式の例

2変数対称式の例としては以下のものがあります。

  • $$x+y$$
  • $$xy$$
  • $$3x^{4}+2xy+3y^{4}$$

それぞれxとyを入れ替えても、もとの多項式と等しくなるので対称式です。

2変数の基本対称式

  • $$x+y$$
  • $$xy$$

を2変数多項式の基本対称式といいます。

3変数対称式

3変数の多項式f(x,y,z)に対して
f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x)
が成り立つとき対称式という。

つまり、3変数の場合、xとyとzをどのように入れ替えても、もとの多項式と等しい多項式を対称式といいます。

2変数対称式の例

2変数対称式の例としては以下のものがあります。

  • $$x^{3}+y^{3}+z^{3}$$
  • $$xyz$$
  • $$x+y+z+3xyz$$

それぞれxとyとzをどのように入れ替えても、もとの多項式と等しくなるので対称式です。

3変数の基本対称式

  • $$x+y+z$$
  • $$xy+yz+zx$$
  • $$xyz$$

を3変数多項式の基本対称式といいます。

基本対称式の重要な性質

基本対称式の重要な性質として以下が挙げられます。

全ての対称式は基本対称式の多項式で表せる。

例1

2変数の対称式が基本対称式で表せる例です。

$$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$$

例2

3変数の対称式が基本対称式で表せる例です。

$$x^{3}+y^{3}+z^{3}$$
$$=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}$$
$$-xy-yz-zx)+3xyz$$

まとめ

対称式について以下のことを覚えておきましょう。

対称式と基本対称式
  • 変数をどのように入れ替えても、もとの多項式と等しい多項式を対称式という
  • 全ての対称式は基本対称式の多項式で表せる。