対称式とは？基本対称式の使い方をやさしく解説！

対称式とは何でしょうか？今回は２変数・３変数の対称式と基本対称式の使い方についてみてみましょう。

対称式とは？

２変数対称式

2変数の多項式f(x,y)に対して
f(x,y)=f(y,x)
が成り立つとき対称式という。

つまり、２変数の場合、xとyを入れ替えても、もとの多項式と等しい多項式を対称式といいます。

２変数対称式の例

２変数対称式の例としては以下のものがあります。

それぞれxとyを入れ替えても、もとの多項式と等しくなるので対称式です。

２変数の基本対称式

x+y, xyを２変数多項式の基本対称式といいます。

３変数対称式

３変数の多項式f(x,y,z)に対して
f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x)
が成り立つとき対称式という。

つまり、３変数の場合、xとyとzをどのように入れ替えても、もとの多項式と等しい多項式を対称式といいます。

２変数対称式の例

２変数対称式の例としては以下のものがあります。

それぞれxとyとzをどのように入れ替えても、もとの多項式と等しくなるので対称式です。

３変数の基本対称式

x+y+z, xy+yz+zx, xyzを３変数多項式の基本対称式といいます。

基本対称式の重要な性質

基本対称式の重要な性質として以下が挙げられます。

全ての対称式は基本対称式の多項式で表せる。

例１

２変数の対称式が基本対称式で表せる例です。

$$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$$

例２

３変数の対称式が基本対称式で表せる例です。

$$x^{3}+y^{3}+z^{3}$$
$$=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)+3xyz$$

まとめ

対称式について以下のことを覚えておきましょう。