交代式とは？交代式の因数分解の方法と具体例を紹介

交代式とは何でしょうか？今回は２変数・３変数の交代式と因数分解の方法についてみてみましょう。

交代式とは？

交代式（交代多項式、alternating polynomial）とはどの2つの変数を入れ替えても元の－１倍となる多項式のことです。

対称式との違い

対称式とは，どの2つの変数を入れ替えても元と変わらない多項式のことです。つまり、交代式は－１倍、対称式はそのままとなるものです。

詳しくはこの記事をご覧ください。

２変数交代式

2変数の多項式f(x,y)に対して
f(x,y)=-f(y,x)
が成り立つとき交代式という。

つまり、２変数の場合、xとyを入れ替えても、もとの多項式の－１倍となる多項式を交代式といいます。

２変数交代式の例

２変数交代式の例としては以下のものがあります。

それぞれxとyを入れ替えても、もとの多項式の－１倍となるので交代式です。

２変数の交代式の因数

２変数交代式f(x,y)は x-y を因数に持ちます。

実際に因数分解をすると x-y を因数に持つことがわかります。

$$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$$

３変数交代式

３変数の多項式f(x,y,z)に対して
f(x,y,z)=-f(x,z,y)=-f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=-f(z,y,x)
が成り立つとき交代式という。

つまり、３変数の場合、xとyとzのどの2つを入れ替えても、もとの多項式の－１倍となる多項式を交代式といいます。

３変数交代式の例

3変数交代式の例としては以下のものがあります。

$$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-z)$$

xとyとzのどの2つを入れ替えても、もとの多項式の－１倍となるので対称式です。

３変数の交代式の因数

３変数交代式f(x,y,z)は (x-y)(y-z)(z-x) を因数に持ちます。

実際に因数分解をすると (x-y)(y-z)(z-x) を因数に持つことがわかります。

$$x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-z)$$
$$=-(x-y)(y-z)(z-x) $$

まとめ

交代式について以下のことを覚えておきましょう。