代数学の基本定理と使い方

今回は方程式についての基本的な定理となる『代数学の基本定理』を解説します。また、代数学の基本定理の使い方をご紹介します。

代数学の基本定理とは

今回は方程式についての基本的な定理となる『代数学の基本定理』についてお勉強していきましょう。

代数学の基本定理とは次の定理です。

『代数学の基本定理』
複素数係数のn次方程式は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。
すなわち、任意の
$$a_{n},a_{n-1},・・・,a_0 \in \mathbb{C}, a_{n}\neq 0$$
に対して
$$a_{n}x^{n}+・・・+a_{1}x+a_{o}=0$$
は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。

代数学の基本定理（fundamental theorem of algebra）はドイツの数学者ガウスが1799年が学位論文で初めて証明した。

例

2次方程式を考えてみよう。
a≠0のとき2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解は
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$
で与えられる。つまり、2次方程式は複素数まで考えると重解を含めて２つの解が存在します。
２次方程式の解の求め方についてはこちらの記事をご覧ください。

代数学の基本定理の使い方

解を実際に求めずに解の個数が何個あるのかを知りたい場合、代数学の基本定理を使いましょう。
それでは例題を見てみましょう。

例題

ヒント

解答

$$a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}=k$$
と置く。整理すると、
$$a^{2}-ka+1=0$$
$$b^{2}-kb+1=0$$
$$c^{2}-kc+1=0$$
となる。ここで
$$x^{2}-kx+1=0$$
を考えると、a,b,cは解となっている。代数学の基本定理より２次方程式の解は高々２つなのでa,b,cのうち少なくとも２つの値は一致する。（証明終了）

まとめ

今回は方程式についての基本的な定理となる『代数学の基本定理』についてお勉強しました。ぜひ覚えておきましょう。

『代数学の基本定理』
複素数係数のn次方程式は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。
すなわち、任意の
$$a_{n},a_{n-1},・・・,a_0 \in \mathbb{C}, a_{n}\neq 0$$
に対して
$$a_{n}x^{n}+・・・+a_{1}x+a_{o}=0$$
は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。