数学

代数学の基本定理と使い方

代数学の基本定理の使い方

今回は方程式についての基本的な定理となる『代数学の基本定理』を解説します。また、代数学の基本定理の使い方をご紹介します。

ペンちゃん
ペンちゃん
今回は代数学の基本定理についてお勉強しよう!

代数学の基本定理とは

今回は方程式についての基本的な定理となる『代数学の基本定理』についてお勉強していきましょう。

代数学の基本定理とは次の定理です。

複素数係数のn次方程式は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。
すなわち、任意の
$$a_{n},a_{n-1},・・・,a_0 \in \mathbb{C}, a_{n}\neq 0$$
に対して
$$a_{n}x^{n}+・・・+a_{1}x+a_{o}=0$$
は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。

代数学の基本定理(fundamental theorem of algebra)はドイツの数学者ガウスが1799年が学位論文で初めて証明した。

2次方程式を考えてみよう。
a≠0のとき2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解は
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$
で与えられる。つまり、2次方程式は複素数まで考えると重解を含めて2つの解が存在します。
2次方程式の解の求め方についてはこちらの記事をご覧ください。

2次方程式の解の公式と導出方法
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代数学の基本定理の使い方

解を実際に求めずに解の個数が何個あるのかを知りたい場合、代数学の基本定理を使いましょう。
それでは例題を見てみましょう。

例題

複素数a,b,cに対して
$$a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}$$
が成り立つとき、a,b,cのうち少なくとも2つの値は一致することを証明せよ。

ヒント

$$a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}=k$$
としてa,b,cに関する方程式を作ってみましょう。そして代数学の基本定理をもちろん使用します。

解答

$$a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}=k$$
と置く。整理すると、
$$a^{2}-ka+1=0$$
$$b^{2}-kb+1=0$$
$$c^{2}-kc+1=0$$
となる。ここで
$$x^{2}-kx+1=0$$
を考えると、a,b,cは解となっている。代数学の基本定理より2次方程式の解は高々2つなのでa,b,cのうち少なくとも2つの値は一致する。(証明終了)

まとめ

今回は方程式についての基本的な定理となる『代数学の基本定理』についてお勉強しました。ぜひ覚えておきましょう。

代数学の基本定理

複素数係数のn次方程式は複素数の範囲で重解を含めてn個の解を持つ。

ペンちゃん
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今回は代数学の基本定理についてお勉強しよう!