数学

2次方程式の解の公式の導出方法

2次方程式の解の公式とは

解の公式

a≠0のとき2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解は
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$
で与えられる。

解の公式の導出方法

$$ax^{2}+bx+c=0$$
a≠0のとき
$$a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c=0$$
平方完成すると
$$a(x+\frac{b}{2a})^{2}-a(\frac{b}{2a})^{2}+c=0$$
$$a(x+\frac{b}{2a})^{2}=a(\frac{b}{2a})^{2}-c$$
a≠0より両辺aで割ると
$$(x+\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$$
両辺ルートを取ると
$$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$$
したがって
$$x=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}-\frac{b}{2a}=\frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$

まとめ

2次方程式の解の公式と導出方法を覚えておきましょう。

2次方程式の解の公式

a≠0のとき2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解は
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$