２次方程式の解と係数の関係と導出方法

２次方程式の解と係数の関係を覚えていますか？また、２次方程式の解と係数の関係を自分で導くことはできますか？今回は、２次方程式の解と係数の関係とその導出方法についてお勉強しましょう。

２次方程式の解と係数の関係

解と係数の関係

２次方程式の解と係数の関係とは次のことをいいます。

2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解をα,βとすると
$$α+β=-\frac{b}{a},αβ=\frac{c}{a}$$
が成り立つ。これを解と係数の関係という。

証明方法

まず２次方程式の解は次で与えられます。

a≠0のとき2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解は
$$x=\frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$
で与えられる。

これの証明方法はこちらの記事をご覧ください。

（２次方程式の解と係数の関係の証明）
2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解を
$$α=\frac{-b + \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$
$$β=\frac{-b – \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$$
と置くと、
$$α+β=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$$
$$αβ=\frac{b^{2}-(b^{2} -4ac)}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$$
となる。

まとめ

2次方程式の解と係数の関係と証明方法を覚えておきましょう。

2次方程式の解と係数の関係
2次方程式
$$ax^{2}+bx+c=0$$
の解をα,βとすると
$$α+β=-\frac{b}{a},αβ=\frac{c}{a}$$
が成り立つ。これを解と係数の関係という。