【微分公式一覧】微分の公式を覚えよう！

数学の微分の公式はなかなか覚えられないですよね？
今回は、微分の公式について学習しましょう！

導関数の定義

導関数の定義

まずは導関数の定義について確認してみましょう。

関数f(x)の導関数f'(x)は次の式で定義される。
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

微分公式一覧

べき乗の微分公式一覧

No.	微分前	微分後
1	\(k （kは定数）\)	\(0\)
2	\(x^\alpha　（\alphaは実数）\)	\(\alpha x^{\alpha-1}\)
3	\(\frac{1}{x}\)	\(-\frac{1}{x^2}\)
4	\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

No.3はNo.2に-1を代入すると得られます。
No.4はNo.2に1/2を代入すると得られます。

No.1の例

\(f(x)=1\) ⇒ \(f'(x)=0\)

No.2の例

\(f(x)=x\) ⇒ \(f'(x)=1\)
\(f(x)=x^2\) ⇒ \(f'(x)=2x\)
\(f(x)=x^3\) ⇒ \(f'(x)=3x^2\)

三角関数の微分公式一覧

No.	微分前	微分後
5	\(\sin x\)	\(\cos x\)
6	\(\cos x\)	\(-\sin x\)
7	\(\tan x\)	\(\frac{1}{\cos^2 x}\)
8	\(\cot x = \frac{1}{\tan x}\)	\(-\frac{1}{\sin^2 x}\)

指数関数・対数関数の微分公式一覧

No.	微分前	微分後
9	\(e^x\)	\(e^x\)
10	\(a^x 　(a>0, a\neq 1)\)	\(a^x \log a\)
11	\(\log x\)	\(\frac{1}{x}\)
12	\(\log |x|\)	\(\frac{1}{x}\)
13	\(\log_a x\)	\(\frac{1}{x \log a}\)
14	\(\log |f(x)|\)	\(\frac{f'(x)}{f(x)}\)
15	\(x^x\)	\((\log x + 1)x^x\)

No.15は対数微分法（両辺の対数を取り微分する）で得られます。

積・商の微分公式

No.	微分前	微分後
16	\( kf(x)\)	\(kf'(x)\)
17	\(f(x) \pm g(x)\)	\(f'(x) \pm g'(x)\)
18	\(f(x)g(x)\)	\(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
19	\(\frac{f(x)}{g(x)}\)	\(\frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
20	\(\frac{1}{g(x)}\)	\(– \frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

合成関数の微分公式

No.	微分前	微分後
21	\(f(g(x))\)	\(f'(g(x))g'(x)\)

逆関数の微分公式

以下の公式は高校数学範囲外になります。

No.	微分前	微分後
22	\(\mathrm{arcsin}\:x\)	\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
23	\(\mathrm{arccos}\:x\)	\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
24	\(\mathrm{arctan}\:x\)	\(\frac{1}{1+x^2}\)

双曲線関数の微分公式

以下の公式は高校数学範囲外になります。

No.	微分前	微分後
25	\(\sinh x\)	\(\cosh x\)
26	\(\cosh x\)	\(\sinh x\)
27	\(\cosh x\)	\(\frac{1}{\cosh^2 x}\)

まとめ

数学の微分の公式はなかなか覚えられないですよね？
今回は、微分の公式について学習しました！