数学の基本的な代数的構造の一つに群（group）があります。群とは、特定のルールに従った要素の集まりで、普遍的な概念を抽象化したものです。群論は代数学や解析学、幾何学、さらには物理学など多岐にわたる分野で応用されています。
本記事では、群の定義やその基本的な性質、具体例を丁寧に解説するとともに、さらに発展的な概念についても取り上げ、群論の全体像をわかりやすく紹介します。
今回は群について学習しよう！
この記事で学べる事
- 群の定義
- 単位元の定義と一意性
- 逆元の定義と一意性
- 群の具体例
- 可換群（アーベル群）
群の定義
群は、ある集合とその集合上の演算の組み合わせで定義されます。群は次の３つのルールを満たすものになります。
結合法則：任意の要素に対し、演算の順序は結果に影響しない。
単位元の存在：集合には、演算に影響しない特別な要素が存在する。
逆元の存在：各要素には、演算を行うと単位元となる逆の要素が存在する。
これらの概念をより身近に感じるために、1つ例を挙げます。たとえば、整数の集合とその上の和（足し算）は群をとなります。足し算は演算の順序は結果に影響しません。また、単位元は \(0\)、各元の逆元はその負の数です。3つのルールを満たすため、整数の集合と足し算は群の一例となります。
実際の正確な群の定義をみてみましょう。
群の定義
定義：集合 \(G\) とその上の二項演算 \(\cdot: G \times G \to G\) の組 \((G, \cdot)\) が以下の3つの条件を満たすとき、組 \((G, \cdot)\) を群（group）という。
１．（結合法則）任意の \(g,h,k \in G \) に対して、 $$(g⋅h)⋅k=g⋅(h⋅k)$$ が成り立つ。
２．（単位元の存在）任意の \(g \in G \) に対して、$$g⋅e=e⋅g=g$$ を 満たすような \(e \in G\) が存在する。
３．（逆元の存在）任意の \(g \in G\) に対して、$$g⋅h=h⋅g=e$$ を 満たすような \(h \in G\) が存在する。
この定義を一つずつ確認してみましょう。
まず、集合 \(G\) を用意します。
二項演算 \(\cdot: G \times G \to G\) から、任意の \(g, h \in G\) に対して、 \(g⋅h \in G\) となっている必要があります。
つまり集合 \(G\) は演算 \(⋅\) について閉じている必要があります。
１．の結合法則からどの順番で二項演算を行っても変わらないことがわかります。
２．の単位元の存在から、任意の \(G\) の元に対して、二項演算を行っても結果が変わらない \(G\) の元が存在することがわかります。
３．の逆元の存在から、任意の \(G\) の元に対して、二項演算を行うと単位元になる \(G\) の元が存在することがわかります。
単位元
群の定義２．「（単位元の存在）任意の \(g \in G\) に対して、\(g⋅e=e⋅g=g\) を 満たすような \(e \in G\) が存在する。」を満たす \(e\) を単位元といいます。
単位元をわかりやすく言うと、掛けても答えが変わらない元のことです。
例えば整数で考えたときの \(1\) が単位元になります。
また、単位元が存在すれば一意になります。
定理：単位元が存在すれば一意である
単位元が存在すれば一意の証明
証明：組 \((G, \cdot)\) を群、\(e,e’ \in G\) を単位元とする。
このとき、\(e=e⋅e’=e’\) となる。（群の定義２．より）
よって、\(e=e’\) なので単位元が存在すれば一意になる。
逆元
群の定義３．「（逆元の存在）任意の \(g \in G\) に対して、\(g⋅h=h⋅g=e\) を 満たすような \(h \in G\) が存在する。」を満たす \(h\) を \(g\) の逆元といい \(g^{-1}\) と書きます。
逆元をわかりやすく言うと、掛けて単位元になる元のことです。
例えば実数で考えたときの逆数が逆元になります。
また、逆元が存在すれば一意になります。
定理：逆元が存在すれば一意である
逆元が存在すれば一意の証明
証明：組 \((G, \cdot)\) を群、\(g \in G\) 、\(g^{-1},g’^{-1} \in G\) を \(g\) の逆元、 \(e \in G\) を単位元とする。
このとき、\(g^{-1}=e⋅g^{-1}=(g’^{-1}⋅g)⋅g^{-1}=g’^{-1}⋅(g⋅g^{-1})=g’^{-1}⋅e=g’^{-1}\)
よって、\(g^{-1}=g’^{-1}\) なので逆元が存在すれば一意になる。
群の具体例
自明群（Trivial Group）
\(G = {e}\) , \(\cdot: G \times G \to G\) を \((e, e) \to e\) で定義すると \((G, \cdot)\) は群になる、この群を自明群(trivial group)または単位群という。
自明群の単位元、逆元はすべて \(e\) になります。
整数全体の集合
整数全体の集合 \(\mathbb{Z}\)と和（足し算）の組 \((\mathbb{Z},+)\) は群である。
単位元は\(0\)、\(a\) の逆元は \(-a\) になります。
実数全体の集合
実数全体の集合 \(\mathbb{R}\)と和（足し算）の組 \((\mathbb{R},+)\) は群である。
単位元は\(0\)、\(a\) の逆元は \(-a\) になります。
同様に有理数全体の集合 \(\mathbb{Q}\)と和（足し算）の組 \((\mathbb{Q},+)\) や複素数全体の集合 \(\mathbb{C}\)と和（足し算）の組 \((\mathbb{C},+)\) は群である。
実数全体から0を除いた集合
実数全体から0を除いた集合 \(\mathbb{R}\setminus 0\)と積（かけ算）の組 \((\mathbb{R}\setminus 0,・)\) は群である。
単位元は\(1\)、\(a\) の逆元は\(\frac{1}{a}\)になります。
同様に有理数全体から0を除いた集合 [\(\mathbb{Q}\setminus 0\)と積（かけ算）の組 \((\mathbb{Q}\setminus 0,・)\) や複素数全体から0を除いた集合 \(\mathbb{C}\setminus 0\)と積（かけ算）の組 \((\mathbb{C}\setminus 0,・)\) は群である。
一般線形群
実数を成分に持つn次正則行列全体の集合 \(GL_{n}(\mathbb{R})\)と行列の乗法の組 \((GL_{n}(\mathbb{R}),・)\) は群である。
単位元は単位行列、逆元は逆行列になります。
対称群
集合 \(\{1, 2, \dots, n\}\) 上の全ての置換を元とし、置換の合成を演算としたとき、これは群となり対称群 と呼び、\(S_n\) と書きます。対称群は \(n\) 個の元の全ての順列全体からなる群です。
巡回群
群 \(G\) がある元 \(a \in G\) によって生成される、すなわち \(G = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}\)と表現できるとき、 \(G\) を巡回群と呼びます。
有限巡回群
剰余類群 \(\mathbb{Z}_n\)（整数を \(n\) で割った余り全体の集合）は、有限巡回群の代表例です。この群の位数は \(n\) となります。
可換群（アーベル群）
アーベル群（可換群）の定義
定義：群 \((G, \cdot)\) がアーベル群（または可換群）であるとは、任意の \(a, b \in G\) に対して \(a \cdot b = b \cdot a\) が成立する場合をいいます。
アーベル群の例
次の群はアーベル群になります。
- \((\mathbb{Z}, +)\)
- \((\mathbb{R}, +)\)
- \((\mathbb{R}\setminus\{0\}, \times)\)
非アーベル群の例
次の群は非アーベル群になります。
- 対称群 \(S_n\) \(（n \ge 3）\)
- 一般線形群 \(GL_n(\mathbb{R})\)
位数
群の位数
群 \(G\) の位数とは、群に含まれる元の個数のことを指します。記号で表すと、\(|G|\) と書きます。
例：有限巡回群 \(\mathbb{Z}_5\) の位数は \(5\)、 \(\mathbb{Z}\) や \(\mathbb{R}\) は無限位数です。
元の位数
群 \(G\) の元 \(g \in G\) の位数とは、次の条件を満たす最小の正の整数 \(n\)のことを言います。 \(g^n = e\) ここで \(e\) は単位元のことです。
例：有限巡回群 \(\mathbb{Z}_6\) おける \(2\) の位数は \(3\)です。\(（2+2+2 = 6 ≡ 0 mod 6)\)
部分群
群 \((G, \cdot)\) の部分群（subgroup）とは、\(G\) の部分集合 \(H \subseteq G\) が群の演算に関して群を成すとき、つまり以下の条件を満たすときに、\(H\) を \(G\) の部分群という。
１．（結合法則）任意の \(g,h,k \in H \) に対して、 $$(g⋅h)⋅k=g⋅(h⋅k)$$ が成り立つ。
２．（単位元の存在）任意の \(g \in H \) に対して、$$g⋅e=e⋅g=g$$ を 満たすような \(e \in H\) が存在する。
３．（逆元の存在）任意の \(g \in H\) に対して、$$g⋅h=h⋅g=e$$ を 満たすような \(h \in H\) が存在する。
群のまとめ
数学の基本的な代数的構造の一つに群があります。
今回は、群の定義と具体例について学習しました！
定義：集合 \(G\) とその上の二項演算 \(\cdot: G \times G \to G\) の組 \((G, \cdot)\) が以下の3つの条件を満たすとき、組 \((G, \cdot)\) を群（group）という。
１．（結合法則）任意の \(g,h,k \in G \) に対して、 $$(g⋅h)⋅k=g⋅(h⋅k)$$ が成り立つ。
２．（単位元の存在）任意の \(g \in G \) に対して、$$g⋅e=e⋅g=g$$ を 満たすような \(e \in G\) が存在する。
３．（逆元の存在）任意の \(g \in G\) に対して、$$g⋅h=h⋅g=e$$ を 満たすような \(h \in G\) が存在する。
今回は群について学習したよ！