偶関数・奇関数とは?性質・公式と見分け方を解説

偶関数・奇関数とは何でしょうか?今回は偶関数・奇関数の定義と性質や公式、見分け方を解説します。

今回は偶関数と奇関数についてお勉強しよう!

目次

偶関数と奇関数とは?

まずは偶関数と奇関数の定義をみてみましょう。

偶関数の定義

関数f(x)について
f(-x) = f(x)
が任意のxについて成り立つとき、偶関数 (even function) であるという。

つまり、xについてプラスマイナス入れ替えても同じ値になるとき偶関数であるといいます。

奇関数の定義

関数f(x)について
f(-x) = -f(x)
が任意のxについて成り立つとき、奇関数 (odd function) であるという。

つまり、xについてプラスマイナス入れ替えるとマイナスの値になるとき奇関数であるといいます。

偶関数と奇関数の例

偶関数の例

偶関数の例としては以下のものがあります。

  • $$x^{2}$$
  • $$cos x$$
  • $$定数関数$$

奇関数の例

奇関数の例としては以下のものがあります。

  • $$x^{3}$$
  • $$sin x$$
  • $$tan x$$

偶関数と奇関数の性質

偶関数と奇関数の性質と公式を紹介します。

偶関数の性質

  • xy平面上に y = f(x) のグラフを描いたとき、 y 軸に関して線対称になる。
  • 偶関数の定数倍は偶関数になる。
  • 偶関数の積は偶関数になる。

奇関数の性質

  • xy平面上に y = f(x) のグラフを描いたとき、 原点に関して点対称になる。
  • 奇関数の定数倍は奇関数になる。
  • 奇関数の積は偶関数になる。

偶関数と奇関数を合わせた性質

  • 偶関数と奇関数の積は奇関数になる。
  • 微分可能な偶関数は、微分すると奇関数になる。
  • 微分可能な奇関数は、微分すると偶関数になる。

偶関数と奇関数の公式

偶関数の積分の公式

偶関数の積分の公式としては以下のものがあります。

$$ \int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$$

奇関数の積分の公式

奇関数の積分の公式としては以下のものがあります。

$$ \int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$$

偶関数と奇関数の見分け方

偶関数と奇関数の見分け方を紹介します。

STEP
式が多項式の時

xの指数が偶数だったら偶関数、奇数だったら奇関数になります。
両方混ざっていればどちらでもありません。

STEP
対称性の確認

y軸で線対称であれば偶関数、原点で点対称であれば奇関数になります。

STEP
定義から確認

f(-x) = f(x)であれば偶関数、f(-x) = -f(x)であれば奇関数になります。

まとめ

今回は偶関数・奇関数の定義と性質や公式、見分け方を解説しました。

今回は偶関数と奇関数についてお勉強したよ!

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