【数学】tanの値がすべて整数となる三角形とは?

tanが整数

今回は大学入試で出題された「tanの値がすべて整数となる三角形」について考えてみましょう。

今回は「tanの値がすべて整数となる三角形」についてお勉強しましょう!

目次

tanの値がすべて整数となる三角形

まずは問題を見てみましょう。

三角形 ABC で tan A , tan B , tan C が整数のとき、その値を求めよ。

(1984年 一橋大)

これは一橋大学の入試に出題された問題です。このような問題はどのようにして解くのか悩みますよね。今回はこの問題を解きながら考え方を学んでいきましょう。

実際に問題を解いてみよう

同様の問題が誘導付きで出題されているのでまずはそちらから解いてみましょう。

鋭角三角形ABCの 3 つの内角をそれぞれ A , B , C で表し、 A ≦ B ≦ C とする。
(1) tan A のとる値の範囲を求めよ。
(2) tan C を tan A と tan B の式で表せ。
(3) tan A , tan B , tan C がすべて整数のとき、 tan A , tan B , tan C の値を求めよ。

(2004年 名城大・理工)

考え方

(1) A のとりうる角度を考えてみましょう。0°< A と A ≦ B ≦ C を使いましょう。
(2) tan (180°- θ) = – tanθ の公式を用いましょう。
(3) まず、(1)より、tan A の値を求めましょう。それを(2)の式に代入しましょう。

解答

(1) Aは鋭角三角形の内角だから、0°< A となる。
また、 A ≦ B ≦ C だから、3A ≦ A + B + C = 180°
したがって、A ≦ 60° となる。
tan 0°< tan A ≦ tan 60° より、
0 < tanA ≦ √3

(2) tan (180°- θ) = – tanθ と、C = 180° – (A + B)を用いると
tan C=tan{180° – (A + B)}=-tan(A + B)
$$\tan C=-\frac{\tan A + \tan B}{1+\tan A\tan B}$$

(3) tan A は整数であるから(1)の結果より、tan A = 1 となる。
これを(2)に代入して、
(1 – tan B ) tan C = – ( 1 + tan B )
tan B tan C – tan C – tanB – 1 = 0
( tan B – 1 ) ( tan C – 1 ) = 2
となる。ここで、B ≦ C と 角B , 角C は鋭角であることを用いると、
tan B ≦ tan C
であるから、tan B , tan C が整数であるので
tan B = 2 , tan C = 3
となる。以上より、
tan A = 1 , tan B = 2 , tan C = 3
である。

最初の問題の解答

それでは最初の問題を解いてみましょう。
先ほどの問題と比べて誘導がないのと一部条件が少なくなっています。

三角形 ABC で tan A , tan B , tan C が整数のとき、その値を求めよ。

(1984年 一橋大)

解答

A ≦ B ≦ C と仮定しても一般性を失わない。
Aは三角形の内角だから、0°< A となる。
また、 A ≦ B ≦ C だから、3A ≦ A + B + C = 180°
したがって、A ≦ 60° となる。

tan 0°< tan A ≦ tan 60° より、
0 < tanA ≦ √3
ここでtan A は整数であるから、tan A = 1 となる。

したがって、A=45°となる。2B ≦ B + C = 135°
したがって、B ≦ 67.5° となる。すなわち角Bは鋭角となる。

tan (180°- θ) = – tanθ と、C = 180° – (A + B)を用いると
tanC=tan{180° – (A + B)}=-tan(A + B)
$$\tan C=-\frac{\tan A + \tan B}{1+\tan A\tan B}$$
tan A = 1 を代入すると、
(1 – tan B ) tan C = – ( 1 + tan B )
tan B tan C – tan C – tanB – 1 = 0
( tan B – 1 ) ( tan C – 1 ) = 2
となる。B ≦ C と tan B , tan C が整数、角Bは鋭角であることを用いると
tan B = 2 , tan C = 3
となる。以上より、
tan A = 1 , tan B = 2 , tan C = 3
である。

A ≦ B ≦ C という条件を外すと、答えは
( tan A , tan B , tan C ) = ( 1 , 2 , 3) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2) , ( 3 , 2 , 1 )となる。

まとめ

入試問題は知っている知識をうまくつなぎ合わせて解く必要があります。知っている知識をすべて出して考えてみてください。

今回は「tanの値がすべて整数となる三角形」についてお勉強したよ!

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