【数学】tan1°は有理数か？問題文が短い入試問題

「tan1°は有理数か」これは２００６年京都大学の入試に出題された問題です。今回は大学入試で出題された問題文が短い入試問題を見てみましょう。

tan1°は有理数か

「tan1°は有理数か」これは２００６年京都大学の入試に出題された問題です。内容がシンプルで問題文が短い場合、題意を把握するのは簡単ですが、問題文に情報が少ないため困ることも多いでしょう。今回はこの問題を考え、解答するまでの頭の中を見てみましょう。

実際に問題を解いてみよう

tan1°は有理数か (2006年 京都大・共通（後）)

「tan1°は有理数か」という問題の考え方

tan1°が「有理数か？」「無理数か？」を知識として知っている人は少ないと思います。
tanの値で覚えているのは次の値ですね。
$$・\tan0°=0　・\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$・\tan45°=1　・\tan60°=\sqrt{3}$$
また、tanの公式で知っているものは、まず2倍角の公式
$$\tan 2θ=\frac{2\tanθ}{1-\tan^{2}θ}$$
と加法定理
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$
ですね。これらを見て2倍角の公式や、加法定理を用いてtan1°が有理数の式か、無理数の式になるのかを示せばいいのかなと考えることができれば成功ですね。

tan1°が無理数であることの証明（解答）

tan1°が無理数であることを背理法で証明する。tan 1°が有理数であると仮定すると、2倍角の公式
$$\tan 2θ=\frac{2\tan}{1-\tan^{2}θ}$$
を繰り返し用いて、tan 2°、tan 4°、tan 8°、tan 16°、tan 32°、tan 64°は有理数である。
また加法定理より、
$$\tan60°=\tan(64°-4°)$$
$$=\frac{\tan64°-\tan4°}{1+\tan64°\tan4°}$$
となる。ここで
$$（左辺）=\tan60°=\sqrt{3}=(無理数)$$
$$（右辺）=\frac{\tan64°-\tan4°}{1+\tan64°\tan4°}=(有理数)$$
となり、(無理数)=(有理数)となり矛盾する。
よって背理法により、tan 1°は無理数であることが示された。

tan1°の値

参考までにtan1°の値は次のようになります。

tan1°=0.017455065‥‥

まとめ

数学で短い問題文の場合、知っている知識をうまくつなぎ合わせて解く必要があります。知っている知識をすべて出して考えてみてください。