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【数学】フィボナッチ数列と一般項の求め方

フィボナッチ数列

今回は大学入試問題でもよく出題されるのフィボナッチ数列についてお勉強していきましょう。

ペンちゃん
ペンちゃん
今回はフィボナッチ数列についてお勉強しましょう!

フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列とは、以下の漸化式で定義された数列です。

フィボナッチ数列
  • $$F_{0}=0$$
  • $$F_{1}=1$$
  • $$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} (n≧2)$$

フィボナッチ数列は0, 1から始まり、その後の項は直前の2つの項の和となっている数列です。
1000万以下のフィボナッチ数列の項は以下のようになります。

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465

フィボナッチ数列の一般項

また、フィボナッチ数列の一般項は次のようになります。

フィボナッチ数列の一般項

$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\big\{\big(\frac{1+\sqrt{5} }{2}\big)^{n}-\big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^{n}\big\}$$

フィボナッチ数列の一般項の求め方

フィボナッチ数列の一般項を求めてみましょう。

問題

$$フィボナッチ数列の一般項を求めよ$$

解答

フィボナッチ数列の特性方程式は
$$x^2=x+1$$
となるので、その2つの解を
$$a=\frac{1+\sqrt{5} }{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$
とおくと、a+b=1,ab=-1となる。(解と係数の関係)
したがって、
$$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$$
$$=(a+b)F_{n-1}-abF_{n-2}$$
変形すると
$$F_{n}-aF_{n-1}=b(F_{n-1}-aF_{n-2})$$
$$F_{n}-aF_{n-1}は公比bの等比数列とみなせるので$$
$$F_{n}-aF_{n-1}=b^{n-2}(F_{2}-aF_{1})$$
$$=b^{n-2}(1-a)=b^{n-1}$$
同様に
$$F_{n}-bF_{n-1}=a^{n-2}(F_{2}-bF_{1})$$
$$=a^{n-2}(1-b)=a^{n-1}$$
よって
$$F_{n}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$$
$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\big\{\big(\frac{1+\sqrt{5} }{2}\big)^{n}-\big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^{n}\big\}$$

フィボナッチ数列の性質

フィボナッチ数列の性質に関する問題を見てみましょう。

問題

$$F_{n}, F_{n-1} (n≧2)は互いに素であることを示せ$$

解答

$$F_{n}, F_{n-1} (n≧2)が互いに素でないと仮定する。$$
共通の約数を p(p≧2)とすると
$$F_{n}=pk, F_{n-1}=pl (k,lは自然数)$$
とかける。このとき、
$$F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}=pk-pl=(k-l)p$$
となる。これを繰り返すと、
$$F_{1}, F_{2}もpの倍数となるがF_{1}=F_{2}=1に矛盾する$$
$$したがってF_{n},F_{n-1} (n≧2)は互いに素である$$

まとめ

今回はフィボナッチ数列についてお勉強しました。以下のことについて覚えておきましょう。

フィボナッチ数列の定義
  • $$F_{0}=0$$
  • $$F_{1}=1$$
  • $$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} (n≧2)$$
フィボナッチ数列の一般項

$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\big\{\big(\frac{1+\sqrt{5} }{2}\big)^{n}-\big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\big)^{n}\big\}$$

ペンちゃん
ペンちゃん
今回はフィボナッチ数列についてお勉強したよ!