数学

【数学】どうしても解けない問題に出会った時の対処法!実験してみよう

ペンちゃん
ペンちゃん
今回はどうしても解けない問題に出会った時の対処法をお勉強しよう!

数学で実験しよう

入試や模試、テストや普段の勉強で数学の問題を解くとき、どうしても解き方が思いつかないことや、方針も思いつかないときどのようにしていますか?その問題は解くのを諦めた方がいいのでしょうか?そんな時は実験をしてみてください。実験といっても、科学のようにビーカーやフラスコは必要ありませんよ。

具体的に考えて実験しよう

問題を具体的に考えてみましょう。例えば、数列の一般項を求める問題であれば、n=1 の時はどうなるのか? n=2 の場合は?のように小さいほうから順に具体的にどのようになるのか考えてみましょう。

実験するための例題

問題

n を自然数とする。n, n+2, n+4 がすべて素数であるのは n=3 の場合だけであることを示せ。(2004 早稲田大学・政経問3)

実験しよう

授業で習った公式に当てはめられそうな感じではありませんね。
その場合は実験をしてみましょう。
n, n+2, n+4を考えよう。n が素数であることが必要なので、素数の時のみ考えれば十分です。

  • n=2 の時、2, 4, 6 となり、4, 6 は素数ではありません。
  • n=3 の時、3, 5, 7 となり、すべて素数なので問題に当てはまりますね。
  • n=5 の時、5, 7, 9 となり、9 は素数ではありません。
  • n=7 の時、7, 9, 11 となり、9 は素数ではありません。
  • n=11 の時、11, 13, 15 となり、15 は素数ではありません。
  • n=13 の時、13, 15, 17 となり、15 は素数ではありません。
  • n=17 の時、17, 19, 21 となり、21 は素数ではありません。
  • n=19 の時、19, 21, 23 となり、21 は素数ではありません。


  • n+2, n+4 のどちらかが3の倍数になるのかな?ってことがわかったら実験は大成功です。
    3の倍数で場合分けをしてみましょう。

    解答

    各nに対して、n, n+2, n+4 を考える。
    n=1 の時、1, 3, 5 となり、1は素数でない。
    n=2 の時、2, 4, 6 となり、4, 6 は素数でない。
    n=3 の時、3, 5, 7 となり、すべて素数なので題意に当てはまる。
    n≧4のとき
    nは素数なのでn=3k+1, n=3k+2 (kは自然数)を考える。
    (i)n=3k+1 (kは自然数)のとき
    n, n+2, n+4 は 3k+1, 3k+3, 3k+5
    となり3k+3=3(k+1)となるので3の倍数となり素数でない。
    (i)n=3k+2 (kは自然数)のとき
    n, n+2, n+4 は 3k+2, 3k+4, 3k+6
    となり3k+6=3(k+2)となるので3の倍数となり素数でない。

    以上より、n, n+2, n+4 がすべて素数であるのは n=3 の場合だけである

    この問題は、3の倍数で場合分けをすることがすぐに思いつかなかったとしても、実験を行うことで、3の倍数で場合分けをすればいいことがわかるので、実験は大切です。

    まとめ

    入試等で、どうしても解けない問題は具体的に考えて実験してみましょう。この方法をマスターして最後まで諦めないようにしましょう。

    ペンちゃん
    ペンちゃん
    今回はどうしても解けない問題に出会った時の対処法をお勉強したよ!