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【数学】総当たり戦(リーグ戦)についての面白い問題

リーグ戦の問題

今回は大学入試で出題された「総当たり戦(リーグ戦)」についての面白い問題について見てみましょう。

ペンちゃん
ペンちゃん
今回は「総当たり戦(リーグ戦)」の問題についてお勉強しましょう!

総当たり戦(リーグ戦)についての面白い問題

総当たり戦(リーグ戦)とは

総当たり戦(リーグ戦)とは参加する全てのチームと一定の回数戦う試合のことです。

問題

総当たり戦についての面白い問題が以下になります。大学入試問題ですが中学生でも解ける内容になっています。

京都大文系 1975年 問1

あるスポーツ大会で、参加したn個のチームは次の方式(リーグ戦形式)で順位を争う。すなわち、どのチームも他の各チームとそれぞれ1回ずつ試合を行い、勝ち数の大小によって順位を決めるものとする。今年の大会では、引き分けが1回も起こらず、また同順位のチームがなかったという。この時、どのチームもそれより下位のチームには必ず勝っていることを証明せよ。

ヒント

1位から順に何勝しているか考えてみよう。

解答

同順位のチームがなかったので、1位から順番に何勝しているかを考えてみると、
1位は n-1勝 0敗 0引き分け
2位は n-2勝 1敗 0引き分け
3位は n-3勝 2敗 0引き分け
・・・
n位は 0勝 nー1敗 0引き分け
となっている。
1位のチームは、0敗なので2位以下のチームにはすべて勝っている。
2位のチームは、1敗(1位のチームに負けた)なので3位以下のチームにはすべて勝っている。
3位のチームは、2敗(1位・2位のチームに負けた)なので4位以下のチームにはすべて勝っている。
・・・
m位のチームは、m-1敗(1位・2位・・・m+1位のチームに負けた)なのでm-1位以下のチームのは勝っている。

すなわち、どのチームもそれより下位のチームには必ず勝っている(証明終了)

まとめ

総当たり戦に関する面白い問題でした。1位から順番に考えていくのがポイントでしたね。

ペンちゃん
ペンちゃん
今回は「総当たり戦(リーグ戦)」の問題についてお勉強しました!